इतिहास में फिर से सबसे खराब अधिग्रहण

आइए इसे चरण-दर-चरण तोड़ें।

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## 1. समस्या को समझना

हमें ऊर्ध्वाधर रेखाओं \( x = \sqrt{3} \) और \( x = \sqrt{8} \) के बीच वक्र \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) के नीचे और \( x \)-अक्ष के ऊपर का क्षेत्र खोजने के लिए कहा गया है।

अतः क्षेत्रफल \( A \) निश्चित समाकलन द्वारा दिया गया है:

\[

ए = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

\]

---

## 2. प्रतिस्थापन

मान लीजिए \( u = x^2 + 1 \). तब \( du = 2x \, dx \), इसलिए \( x \, dx = \frac{du}{2} \)।

जब \( x = \sqrt{3} \):

\[

u = (\sqrt{3})^2 + 1 = 3 + 1 = 4

\]

जब \( x = \sqrt{8} \):

\[

u = (\sqrt{8})^2 + 1 = 8 + 1 = 9

\]

---

##3. अभिन्न को बदलें

\[

\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

= \int_{x=\sqrt{3}}^{x=\sqrt{8}} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot x \, dx

= \int_{u=4}^{u=9} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2}

\]

\[

= \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u} \, डु

\]

---

## 4. मूल्यांकन करें

\[

\frac{1}{2} \left[ \ln|u| \दाएं]_{4}^{9}

= \frac{1}{2} \left( \ln 9 - \ln 4 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{9}{4} \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{3^2}{2^2} \right)

= \frac{1}{2} \ln\left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \cdot 2 \ln\left( \frac{3}{2} \right)

= \ln\बाएं( \frac{3}{2} \दाएं)

\]

---

## 5. अंतिम उत्तर

\[

\boxed{\ln\left( \frac{3}{2} \right)}

\]

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