Նոր ապացույց, որ Քանտորը գրագողություն է արել Դեդեկինդին.

Հակամարտությունը, որը ձևավորեց ժամանակակից մաթեմատիկան

Մաթեմատիկական պատմության տարեգրության մեջ քիչ հարաբերություններ են ապացուցվել այնքան ինտելեկտուալ առումով բեղմնավոր կամ այնքան վիճելի, որքան Գեորգ Կանտորի և Ռիչարդ Դեդեկինդի միջև: Նրանց նամակագրությունը 1870-ական և 1880-ական թվականներին ստեղծեց մաթեմատիկայի հիմունքների մի քանի ամենահեղափոխական գաղափարներ՝ սկսած իրական թվերի խստաշունչ կառուցումից մինչև այն ցնցող բացահայտումը, որ անսահմանությունը տարբեր չափերի է: Սակայն մաթեմատիկայի պատմաբանների շրջանում ավելի քան մեկ դար առաջացած հարցը վերջերս նոր թափ է ստացել. Արդյո՞ք Քանտորն ավելի շատ վարկ ստացավ, քան արժանի էր, և արդյո՞ք Դեդեկինդը շատ ավելի քիչ ստացավ: Նրանց անձնական նամակագրության, ձեռագրերի նախագծերի և դրանց հրապարակումների ճշգրիտ ժամանակագրության նոր գիտական վերլուծությունը ստիպում է մաթեմատիկական հանրությանը վերանայել, թե ով է իրականում ծնել այն գաղափարները, որոնք մենք այժմ գրեթե արտացոլում ենք միայն Քանտորին:

Սա պարզապես ակադեմիական վիճաբանություն չէ տողատակերի վերաբերյալ: Հարցը, թե արդյոք Cantor-ը գրագողություն է արել, կամ գոնե ոչ ադեկվատ գնահատել, Dedekind-ը հարվածում է այն բանին, թե ինչպես ենք մենք ինտելեկտուալ սեփականության իրավունքը վերագրում, ինչպես է համագործակցությունը վերածվում յուրացման, և ինչու են փաստաթղթավորումն ու վերագրումը կարևոր բոլոր բնագավառներում՝ մաքուր մաթեմատիկայից մինչև ժամանակակից բիզնես:

Ինչ է մեզ արդեն պատմել պատմական գրառումը

Կանտորի և Դեդեկինդի միջև հարաբերությունները լավ փաստագրված են 1872-ից 1899 թվականներին փոխանակված մի շարք նամակների միջոցով: Նրանց նամակագրությունը, որն առաջին անգամ հրապարակվել է Էմմի Նոտերի և Ժան Կավայլեսի կողմից 1937 թվականին հավաքագրված հրատարակության մեջ, բացահայտում է ինտենսիվ մտավոր փոխանակում: 1872թ.-ին երկուսն էլ ինքնուրույն հրապարակեցին իրական թվերի կոնստրուկցիաներ. Քանտորը օգտագործելով այն, ինչ այժմ կոչվում է Կոշիի հաջորդականություն, իսկ Դեդեկինդը՝ օգտագործելով իր հայտնի «կտրումները»: Բայց նամակները ցույց են տալիս, որ Դեդեկինդը մշակել է իր կտրված շինարարությունը դեռևս 1858 թվականին՝ հրատարակվելուց 14 տարի առաջ, մինչ Ցյուրիխի Պոլիտեխնիկում հաշվարկ էր դասավանդում:

Այն, ինչ պատմաբանները վաղուց գիտեին, այն է, որ Կանտորը մեծապես հենվել է Դեդեկինդի վրա բազմությունների տեսության ձևավորման տարիներին: Հենց 1873 թվականին Դեդեկինդին ուղղված նամակում Քանթորն առաջին անգամ դրեց այն հարցը, թե արդյոք իրական թվերը կարելի է մեկ առ մեկ համապատասխանեցնել բնական թվերին: Դեդեկինդը ոչ միայն խրախուսեց հարցումը, այլև հիմնական պարզեցումն արեց Կանտորի առաջին ապացույցին, որ իրականներն անհաշվելի են: Այնուամենայնիվ, երբ 1874 թվականին Քենտորը հրապարակեց այս կարևոր արդյունքը Crelle's Journal-ում, Դեդեկինդի ներդրումը չնշվեց:

Այս բացթողումը մեկ անգամ չէ: 1870-ականների վերջի և 1880-ականների բազմաթիվ հրապարակումների ընթացքում Քենթորը զարգացրեց գաղափարներ, որոնք կրում էին Դեդեկինդի հետ իր փոխանակման անշեղ հետքերը՝ ներառյալ կարդինալության վաղ ձևակերպումները, համարակալելիության հայեցակարգը և կետային տոպոլոգիայի կառուցվածքը՝ չտրամադրելով այնպիսի ճանաչում, որը կպահանջեն ժամանակակից ակադեմիական չափանիշները:

Նոր ապացույցներ. ձեռագրերի ժամանակագրություններ և չհրապարակված նախագծեր

Վերջին կրթաթոշակը, որը հիմնված է Գյոթինգենի համալսարանի արխիվային նյութերի վրա և նախկինում անտեսված մարգինալները Դեդեկինդի Nachlass-ում (գրական կալվածք) զգալի կշիռ է ավելացրել գործին: Պատմաբանները հայտնաբերել են Դեդեկինդի ձեռքի ձեռագրերի նախագծեր, որոնք ուրվագծում են բազմությունների տեսական հիմնական հասկացությունները, ներառյալ այն թեորեմի վաղ տարբերակը, որ բազմությունը անսահման է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն կարող է տեղադրվել բիեկցիոն՝ իր համապատասխան ենթաբազմությամբ.

Հատկապես ուշագրավ է 1874-ից 1877 թվականների գրառումների շարքը, որտեղ Դեդեկինդը ուրվագծում է գաղափարներ տարբեր «ուժերի» խմբերի միջև քարտեզագրման վերաբերյալ (այն, ինչ մենք այժմ անվանում ենք կարդինալություն): Այս նշումները մի քանի տարով ավելի վաղ են Կանտորի հրատարակած աշխատությունը նույն հասկացությունների վերաբերյալ: Թեև Դեդեկինդը նախընտրեց չհրապարակել՝ մասամբ ելնելով իր առասպելական պերֆեկցիոնիզմից և մասամբ այն պատճառով, որ նա զգում էր, որ գաղափարները դեռ բավարար ձևի մեջ չէին, Քանթորը, ով այդ գաղափարներին հասանելի էր իրենց նամակագրության միջոցով, արագ շարժվեց հրապարակելու համար:

Ժամանակացույցն իր առանձնահատկություններով դատապարտելի է: Գիտնականները քարտեզագրել են առնվազն յոթ տարբեր դեպքեր 1873-ից 1885 թվականների միջև, երբ հայեցակարգը հայտնվում է նախ Դեդեկինդի անձնական գրառումներում կամ Քանտորին ուղղված նամակներում, այնուհետև՝ 6-ից 18 ամսվա ընթացքում, առանց մեջբերումների, հայտնվում են Քանթորի հրապարակած աշխատություններում:

Գլագիա՞տ, թե՞ համագործակցության մառախուղ:

Քանտորին դատապարտելու շտապելուց առաջ կարևոր է հասկանալ 19-րդ դարի մաթեմատիկայի ինտելեկտուալ մշակույթը: Մեջբերման և վերագրման նորմերը շատ ավելի քիչ պաշտոնականացված էին, քան այսօր: Չկային ստանդարտացված հղման ձևաչափեր, չկային գործընկերների գրախոսական համակարգեր, ինչպես մենք գիտենք, և «խոսակցությունից ոգեշնչված» և «փոխառված գաղափարի» միջև սահմանը զգալիորեն ավելի մշուշոտ էր: Մաթեմատիկոսները սովորաբար նամակներով կիսվում էին գաղափարներով՝ անուղղակիորեն հասկանալով, որ հրապարակման իրավունքները պատկանում են նրան, ով գրել է թերթը:

«Մտավոր ազդեցության և ինտելեկտուալ գողության սահմանը գծվում է ոչ թե գաղափարներով, այլ փաստաթղթային ուղով, որը շրջապատում է դրանք: Հստակ արձանագրությունների բացակայության դեպքում առաջնահերթ վեճերը դառնում են մեկնաբանության առարկա, և ավելի համարձակ հրատարակիչը հաճախ է շահում պատմական վարկը»:

Կանտորի պաշտպանները պնդում են, որ նա փոխակերպեց Դեդեկինդի դիտարկումների հումքը համակարգված տեսության, որ Դեդեկինդը սերմեր է տվել, բայց Քանտորը կառուցել է այգին: Սա ճշմարտություն կա. Կանտորի 1895–1897 թթ. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre ներկայացնում է մոնումենտալ սինթեզ, որը շատ ավելին է, քան Դեդեկինդի գրածը: Բայց նոր ապացույցները ցույց են տալիս, որ սերմերը ավելի լիարժեք են ձևավորվել, քան նախկինում ճանաչվել է, և Քանտորի կողմից դրանք չճանաչելը, նվազագույնը, էթիկական զգալի ձախողում էր ցանկացած դարաշրջանի չափանիշներով:

Ինչու Դեդեկինդը լուռ մնաց

Այս պատմության ամենահետաքրքիր կողմերից մեկը Դեդեկինդի սեփական արձագանքն է, ավելի ճիշտ՝ նրա բացակայությունը: Չնայած իր սեփական առաջնահերթության վերաբերյալ բազմաթիվ ապացույցներ ունենալուն, Դեդեկինդը երբեք հրապարակայնորեն չի մեղադրել Կանտորին գրագողության մեջ: Մի քանի գործոն օգնում է բացատրել այս զսպվածությունը.

• Խառնվածքային տարբերություններ.Դեդեկինդը զուսպ էր, բծախնդիր և խորապես գաղտնի: Կանտորը հավակնոտ էր, բեղմնավոր և հուսահատ ճանաչման համար մաթեմատիկական հաստատությունում, որը հաճախ մերժում էր նրա աշխատանքը:
• Մասնագիտական խոցելիություն. Քանթորն իր կարիերայի մեծ մասն անցկացրել է Հալլի համալսարանում՝ երկրորդ մակարդակի հաստատությունում, և բախվել է Լեոպոլդ Քրոնեկերի դաժան հակառակությանը: Դեդեկինդը, որը հարմարավետորեն հաստատվել է Բրունսվիկի պոլիտեխնիկում, հավանաբար զգում էր, որ առաջնահերթ վեճը իրենից կպահի:
• Փոխադարձ կախվածություն. Չնայած վարկի անհավասարակշռությանը, երկու տղամարդիկ էլ գնահատում էին հարաբերությունները: Դեդեկինդի 1888 թվականի գլուխգործոցը Արդյո՞ք sind und was sollen die Zahlen? կառուցված էր գաղափարների վրա, որոնք նրանք մշակել էին միասին, և հասարակական վեճը կխաթարեր երկու ժառանգությունը:
• Հրապարակման փիլիսոփայություն. Դեդեկինդը կարծում էր, որ գաղափարները պետք է հրապարակվեն միայն այն ժամանակ, երբ դրանք հասել են ամբողջական հստակության և ամբողջականության վիճակի: Նա բացահայտորեն նախընտրեց չհրապարակել բազմաթիվ արդյունքներ, որոնք նա համարեց ժամանակավոր: Նրա կարծիքով՝ չհրապարակված գաղափարը դեռ պատրաստ չէր աշխարհին:

Այս վերջին կետը, թերեւս, ամենադժվարն է: Դեդեկինդի սեփական պերֆեկցիոնիզմը ստեղծեց այն վակուումը, որը լրացրեց Քանտորը: Նոր ապացույցները ոչ այնքան բացահայտում են չարագործին, որքան բացահայտում են կառուցվածքային խնդիրը. թափանցիկ փաստաթղթային համակարգերի բացակայության դեպքում ավելի արդյունավետ հրատարակիչն է գրավում վարկը, անկախ նրանից, թե ով է առաջինը ունեցել գաղափարը:

Ինչ է սա նշանակում այսօր ինտելեկտուալ վերագրման համար

Քանթոր-Դեդեկինդի դեպքը ռեզոնանսվում է մաթեմատիկայի պատմությունից շատ հեռու: Համագործակցային յուրաքանչյուր ոլորտում՝ գիտական ​​հետազոտություններից մինչև ծրագրային ապահովման մշակում և բիզնես ռազմավարություն, հարցը, թե ով է ստեղծել գաղափարը և ով է իրականացրել այն, շարունակում է դժվար լուծել: Ժամանակակից ակադեմիական համակարգը արձագանքել է ավելի խիստ նորմերով մեջբերումների, համահեղինակության և բաց հասանելի նախատպումների շուրջ: Բայց բիզնեսի աշխարհում, որտեղ թիմերը ամեն օր համագործակցում են ընդհանուր նախագծերի շուրջ, խնդիրը պահպանվում է:

Մտածեք, թե քանի կարևոր բիզնես որոշումներ, արտադրանքի նորարարություններ և ռազմավարական առանցքներ են ի հայտ գալիս ոչ պաշտոնական զրույցներից՝ Slack հաղորդագրություն այստեղ, գրատախտակի նիստ այնտեղ, անտեղի դիտողություն հանդիպման ժամանակ: Առանց համակարգված փաստաթղթերի, այն անձը, ով գրում է վերջնական զեկույցը կամ ներկայացնում է վերջնական ներկայացումը, հաճախ ստանում է վարկ, մինչդեռ այն անձը, ով առաջացրել է գաղափարը, անհետանում է հետին պլան: Սա Dedekind-ի խնդիրն է կորպորատիվ ձևով:

Ժամանակակից հարթակները, ինչպիսին է Mewayz-ը-ն, լուծում են այս մարտահրավերը՝ կենտրոնացնելով թիմային համագործակցությունը, նախագծի փաստաթղթերը և աշխատանքային հոսքերի հետագծումը մեկ միասնական համակարգում: 207 ինտեգրված մոդուլներով, որոնք ընդգրկում են CRM, նախագծերի կառավարում, թիմային հաղորդակցություն և վերլուծություն, յուրաքանչյուր ներդրում գրանցվում է, ժամանակի դրոշմված է և վերագրելի: Երբ թիմի անդամը ռազմավարություն է առաջարկում նախագծի գրառման մեջ, այդ գրառումը պահպանվում է: Երբ աշխատանքային հոսքը փոփոխվում է, փոփոխությունների պատմությունը ցույց է տալիս, թե ով և երբ է կատարել ճշգրտումը: Այն տեսակի վերագրման բացը, որը տառապում էր Դեդեկինդից ավելի քան մեկ դար, կառուցվածքային առումով անհնար է դառնում, երբ փաստաթղթային ենթակառուցվածքը ներկառուցված է հենց հարթակում:

Կանտորի ժառանգության վերագնահատում

Սրանցից ոչ մեկը չի նվազեցնում Գեորգ Կանտորի իսկական փայլը: 1891-ի նրա անկյունագծային փաստարկը, տրանսվերջային շարքային և հիմնական թվերի զարգացումը և շարունակական հիպոթեզը շարունակում են մնալ ահռելի ձեռքբերումներ, որոնք կրում են նրա ստեղծագործական յուրօրինակ ստորագրությունը: Նոր ապացույցների կողմից բարձրացված հարցը ոչ թե այն է, թե արդյոք Քանթորը մեծ մաթեմատիկոս էր, նա, անկասկած, դա էր, այլ այն, թե արդյոք պատմական պատմությունը անարդարացիորեն շեղված է եղել:

Դեդեկինդի ներդրումը մաթեմատիկայի հիմքերում գնալով ավելի ու ավելի է ճանաչվում որպես հիմնարար ամենաուղիղ իմաստով: Նրա կողմից իրական թվերի կառուցումը կրճատումների միջոցով մնում է ստանդարտ մոտեցում ժամանակակից վերլուծության դասագրքերում: Նրա հանրահաշվական թվերի տեսությունը ազդել է մաթեմատիկոսների սերունդների վրա՝ Էմմի Նոյթերից մինչև Անդրե Վեյլ: Եվ նրա տեսական տեսական պատկերացումները, որոնք այժմ ավելի ամբողջությամբ փաստագրված են արխիվային ապացույցների միջոցով, բացահայտում են մի մտածողի, ով ոչ միայն Քենտորի թղթակիցն էր, այլ նրա ինտելեկտուալ հավասարը, և որոշ դեպքերում՝ նրա նախորդը:

Վերագնահատումը չի վերաբերում մեկ ժառանգությունը քանդելուն` մյուսը կառուցելու համար: Խոսքը գնում է ավելի ճշգրիտ ըմբռնման մասին, թե ինչպես են իրականում զարգանում հեղափոխական գաղափարները. ոչ թե հանճարեղության առանձին պահերին, այլ կայուն երկխոսության, փոխադարձ ազդեցության և ընդհանուր հասկացությունների աստիճանական կատարելագործման միջոցով: Ողբերգությունն այն է, որ վավերագրական գրառումը չափազանց նոսր էր, իսկ հրապարակման նորմերը՝ չափազանց թույլ՝ այս համատեղ իրականությունը իրական ժամանակում պատկերելու համար:

Դասեր փաստաթղթավորման համար-Առաջին աշխարհ

Կանտոր-Դեդեկինդի հակասությունը հզոր դաս է տալիս, որը դուրս է գալիս ակադեմիական շրջանակներից: Մի դարաշրջանում, երբ մտավոր սեփականության վեճերը կարող են որոշել ընկերությունների և կարիերայի ճակատագիրը, չի կարելի գերագնահատել խիստ, իրական ժամանակում փաստաթղթերի կարևորությունը: Յուրաքանչյուր համագործակցություն առաջացնում է գաղափարներ, և յուրաքանչյուր գաղափար ունի իր ծագումը: Այն կազմակերպությունները, որոնք կզարգանան, կլինեն նրանք, որոնք կվերցնեն այդ ծագումը որպես բնական բան, ոչ թե որպես հետևանք, այլ որպես աշխատանքի կատարման ներկառուցված հատկանիշ:

Այն 138,000 ձեռնարկությունների համար, որոնք արդեն օգտագործում են Mewayz-ը իրենց գործունեությունը կառավարելու համար, այս սկզբունքը ներդրված է ամենօրյա աշխատանքային հոսքի մեջ: CRM-ում գրանցված յուրաքանչյուր հաճախորդի փոխազդեցություն, գեներացված յուրաքանչյուր հաշիվ-ապրանքագիր, հետևված ծրագրի յուրաքանչյուր նշաձող ստեղծում է մշտական, որոնելի գրառում, թե ով ինչ և երբ է ներդրել: Դա, ինչ-որ իմաստով, այն ենթակառուցվածքն է, որը Դեդեկինդը երբեք չի ունեցել. համակարգ, որն ապահովում է փայլուն ներդրումների չանհետանալ մասնավոր նոթատետրերում, որոնք սպասում են ավելի քան մեկ դար, որպեսզի ճանաչվեն:

Պատմությունը երբեք չի կարող վերջնական որոշում կայացնել այն մասին, թե արդյոք Cantor-ը գրագողություն է արել Դեդեկինդին: Նոր ապացույցները թեքում են կշեռքները, բայց ամբողջական ճշմարտությունը թաղված է 19-րդ դարի բարեկամության նրբությունների մեջ, որն իրականացվել է ձեռագիր նամակների և դեմ առ դեմ զրույցների միջոցով, որոնք ոչ մի արխիվ չի կարող վերականգնել: Այն, ինչ մենք կարող ենք սովորել, այնուամենայնիվ, միանշանակ է. ամեն ինչ փաստաթղթավորեք, առատաձեռնորեն վարկավորեք և կառուցեք համակարգեր, որոնք վերագրումն ավտոմատ են դարձնում: Հաջորդ Dedekind-ն ավելի լավին է արժանի:

Հաճախակի տրվող հարցեր

Ի՞նչ ապացույցներ են հուշում, որ Քանթորը կարող է գրագողություն կատարել Դեդեկինդին:

Վերջին կրթաթոշակները ուսումնասիրում են 1870-ական և 1880-ական թվականների նրանց լայնածավալ նամակագրությունը՝ բացահայտելով, որ բազմությունների տեսության և անսահմանության բնույթի վերաբերյալ Կանտորի շատ հիմնարար գաղափարներ սերտորեն արտացոլում են այն գաղափարները, որոնք Դեդեկինդը նախապես կիսվել էր մասնավոր կերպով: Պատմաբանները մատնանշում են Դեդեկինդի չհրապարակված ձեռագրերի և Քանտորի հետագա հրապարակումների միջև եղած ժամանակային անհամապատասխանությունները, ինչպես նաև իրենց նամակների այն հատվածները, որտեղ Դեդեկինդը ուրվագծել է հիմնական գաղափարները, որոնք հետագայում հայտնվել են Քանտորի աշխատություններում՝ առանց համապատասխան վերագրման:

Ինչպե՞ս է Cantor-Dedekind հարաբերություններն ազդել ժամանակակից մաթեմատիկայի վրա:

Նրանց համագործակցությունն ու մրցակցությունը հիմնովին ձևավորեցին ժամանակակից մաթեմատիկայի հիմքերը: Դեդեկինդի կողմից իրական թվերի խստաշունչ կառուցումը կրճատումների միջոցով և Կանտորի կողմից տրանսվերջային բազմությունների տեսության զարգացումը միասին հաստատեցին այն շրջանակը, որի վրա հիմնված է գրեթե ողջ ժամանակակից մաթեմատիկան: Անսահմանության, շարունակականության և մաթեմատիկական առարկաների բնույթի վերաբերյալ նրանց փոխանակումները բանավեճեր են առաջացրել, որոնք այսօր շարունակում են խթանել տրամաբանության, մաթեմատիկայի փիլիսոփայության և հիմնարար ուսումնասիրությունների հետազոտությունները:

Ինչու՞ է գրագողության մասին բանավեճը հիմա նորից արթնանում:

Նոր թվայնացված արխիվային նյութերը, ներառյալ նախկինում անհասանելի նամակները և ձեռագրերի նախագծերը, թույլ են տվել պատմաբաններին վերականգնել գաղափարների մշակման ավելի ճշգրիտ ժամանակացույցերը: Տեքստային վերլուծության առաջադեմ գործիքները և խաչաձև հղումների մեթոդները նաև հեշտացրել են երկու մաթեմատիկոսների միջև հասկացությունների հոսքը հետևելը: Այս թարմ հայտնագործությունները վերսկսել են ակադեմիական հետաքրքրությունը և դրդել մի քանի գրախոսվող հրապարակումների՝ վերագնահատելով Cantor-ի ներդրումների ինքնատիպությունը:

Որտե՞ղ կարող եմ գտնել ավելի խորը հոդվածներ մաթեմատիկայի և ինտելեկտուալ պատմության վերաբերյալ:

Ակադեմիական ամսագրերը, համալսարանական արխիվները և ընտրված թվային գրադարանները հիանալի մեկնարկային կետեր են խորը հետազոտության համար: Մասնագետների և բովանդակություն ստեղծողների համար, ովքեր ցանկանում են արդյունավետորեն հրապարակել և կառավարել իրենց սեփական կրթական բովանդակությունը, Mewayz-ն առաջարկում է 207 մոդուլից բաղկացած բիզնես ՕՀ՝ սկսած $19/ամսից, որը ներառում է բլոգեր, SEO գործիքներ և լսարանի կառավարում. այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է գիտելիքի հեղինակավոր հարթակ ստեղծելու համար: