Опять худшее приобретение в истории

Давайте разберем это шаг за шагом.

---

## 1. Понимание проблемы

Нас просят найти площадь под кривой \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) между вертикальными линиями \( x = \sqrt{3} \) и \( x = \sqrt{8} \) и над осью \( x \).

Таким образом, площадь \( A \) определяется определенным интегралом:

\[

A = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

\]

---

## 2. Замена

Пусть \( u = x^2 + 1 \). Тогда \( du = 2x \, dx \), поэтому \( x \, dx = \frac{du}{2} \).

Когда \( x = \sqrt{3} \):

\[

и = (\sqrt{3})^2 + 1 = 3 + 1 = 4

\]

Когда \( x = \sqrt{8} \):

\[

и = (\sqrt{8})^2 + 1 = 8 + 1 = 9

\]

---

## 3. Изменить интеграл

\[

\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

= \int_{x=\sqrt{3}}^{x=\sqrt{8}} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot x \, dx

= \int_{u=4}^{u=9} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2}

\]

\[

= \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u} \, du

\]

---

## 4. Оцените

\[

\frac{1}{2} \left[ \ln|u| \right]_{4}^{9}

= \frac{1}{2} \left( \ln 9 - \ln 4 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{9}{4} \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{3^2}{2^2} \right)

= \frac{1}{2} \ln\left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \cdot 2 \ln\left( \frac{3}{2} \right)

= \ln\left(\frac{3}{2} \right)

\]

---

## 5. Окончательный ответ

\[

\boxed{\ln\left( \frac{3}{2} \right)}

\]

Создайте ОС для своего бизнеса сегодня

От фрилансеров до агентств, Mewayz обслуживает более 138 000 предприятий с помощью 208 интегрированных модулей. Начните бесплатно, обновляйтесь по мере роста.

Создать бесплатную учетную запись →

{"@context":"https://schema.org","@type":"Article","headline":"Худшее приобретение в истории, снова","url":"https://mewayz.shop/blog/the-worst-acquisition-in-history-again","datePublished":"2026-03-06T22:41:51+00:00","dateModified":"2026-03-06T22:41:51+00: 00","author":{"@type":"Организация","name":"Mewayz","url":"https://mewayz.shop"},"publisher":{"@type":"Организация","name":"Mewayz","url":"https://mewayz.shop"}}